1. Образователна математикаСтатистикаРазбиране на статистическите свойства на нормалното разпределение
Статистическа работна книга за манекени с онлайн практика, 2-ро издание

От Дебора Дж. Румзи

Статистиците наричат ​​разпределение с камбанария крива нормално разпределение. Може би сте чували за крива на камбана. Крива на звънеца описва данни от променлива, която има безкраен (или много голям) брой възможни стойности, разпределени сред населението във форма на камбана. Това основно означава голяма група от хора, които гравитират близо до средата, като все по-малко и по-малко индивиди се отклоняват, когато се отдалечите от средата в която и да е посока.

Можете да видите нормална форма на разпределение на тази фигура.

Нормално разпределение или звънна крива

Всяко нормално разпределение има определени свойства. Можете да използвате тези свойства, за да определите относителното положение на всеки конкретен резултат от разпределението.

Когато разберете свойствата на нормалното разпределение, по-лесно ще интерпретирате статистически данни. Непрекъснатата случайна променлива X има нормално разпределение, ако нейните стойности попадат в гладка (непрекъсната) крива с камбанария. Всяко нормално разпределение има собствена средна стойност, обозначена с гръцката буква μ и собствено стандартно отклонение, обозначено с гръцката буква σ.

Но без значение какви са техните средства и стандартни отклонения, всички нормални разпределения имат една и съща основна форма на звънеца.

Свойствата на всяко нормално разпределение (звънна крива) са следните:

  • Формата е симетрична. Разпределението има могила в средата, като отляво и отдясно се спускат опашки. Средната стойност е директно в средата на разпределението. (Средната стойност на населението се обозначава с гръцката буква μ.) Средната и средната стойност са една и съща стойност поради симетрията. Стандартното отклонение е разстоянието от центъра до точката на седлото (мястото, където кривата се променя от форма на „горе-надолу-чаша” във форма „купа отдясно нагоре”. (Стандартното отклонение на популацията) е обозначен с гръцката буква σ.)
Седлото сочи на крива на камбана
  • Около 68 процента от стойностите се намират в рамките на едно стандартно отклонение от средната стойност, около 95 процента лежат в рамките на две стандартни отклонения, а повечето от стойностите (99,7 процента или повече) лежат в рамките на три стандартни отклонения по емпиричното правило. Всяко нормално разпределение има различно средно и стандартно отклонение, което го прави да изглежда малко по-различно от останалите, но въпреки това всички те имат една и съща форма на звънец.

Обърнете внимание на следната фигура.

Три нормални разпределения със средни и стандартни отклонения от a) 90 и 30; б) 120 и 30; и

За да сравните и сравните разпределенията, показани на фигурата, първо виждате, че всички те са симетрични с формата на звънеца на подписа. Примери (а) и (б) имат едно и също стандартно отклонение, но техните средства са различни; средната стойност в Пример (б) е разположена на 30 единици вдясно от средната в Пример (а), защото средната й стойност е 120 в сравнение с 90. Примери (а) и (с) имат една и съща средна стойност (90), но Пример ( а) има повече променливост от пример (в) поради по-високото си стандартно отклонение (30 в сравнение с 10). Поради увеличената променливост, повечето от стойностите в Пример (а) лежат между 0 и 180 (приблизително), докато повечето от стойностите в Пример (в) лежат само между 60 и 120.

И накрая, Примери (б) и (в) имат различни средства и различни стандартни отклонения изцяло; Пример (б) има по-висока средна стойност, която измества графиката вдясно, а Пример (в) има по-малко стандартно отклонение; стойностите на данните му са най-концентрирани около средната стойност.

Обърнете внимание, че средното и стандартното отклонение са важни, за да се интерпретират правилно числата, разположени в определено нормално разпределение. Например, можете да сравните къде стойността 120 пада върху всяко от нормалните разпределения на горната фигура. В пример (а) стойността 120 е едно стандартно отклонение над средната стойност (тъй като стандартното отклонение е 30, получавате 90 + 1 [30] = 120). Така че при това първо разпределение стойността 120 е горната стойност за диапазона, в който се намират средните 68% от данните, според емпиричното правило.

В пример (б) стойността 120 лежи директно върху средната стойност, където стойностите са най-концентрирани. В пример (в) стойността 120 е изходна на най-дясната граница, 3 стандартни отклонения над средната стойност (тъй като стандартното отклонение този път е 10, получавате 90 + 3 [10] = 120). В пример (с) е много малко вероятно да се появят стойности над 120, тъй като те са извън диапазона, където трябва да са средните 99,7% от стойностите, според емпиричното правило.