1. EducationMathStatisticsКак да намерим вероятности за примерна средна стойност
Статистика за манекените, 2-ро издание

От Дебора Дж. Румзи

В статистиката можете лесно да намерите вероятности за средна проба, ако тя има нормално разпределение. Дори и да няма нормално разпределение или дистрибуцията не е известна, можете да намерите вероятности, ако размерът на извадката, n, е достатъчно голям.

Нормалната дистрибуция е много приятелска дистрибуция, която има таблица за намиране на вероятности и всичко друго, от което се нуждаете. Например, можете да намерите вероятности за

image0.png

чрез преобразуване на

image1.png

до z-стойност и вероятности за намиране с помощта на Z-таблицата (виж по-долу).

Общата формула за преобразуване от

image2.png

Подмяна на подходящите стойности на средната и стандартната грешка на

image3.png

формулата за преобразуване става:

image4.png

Не забравяйте да разделите на квадратния корен на n в знаменателя на z. Винаги се делете на квадратния корен на n, когато въпросът се отнася до средната стойност на x-стойностите.

Да предположим, например, че X е времето, което отнема на случаен принцип избран служител в офиса да въведе и изпрати стандартно препоръчително писмо. Да предположим, че X има нормално разпределение и приемем, че средната стойност е 10,5 минути, а стандартното отклонение 3 минути. Вземате произволна извадка от 50 чиновници и измервате времето им. Какъв е шансът средното им време да е по-малко от 9,5 минути?

Този въпрос означава превод

image5.png

Тъй като X има нормално разпределение, за да започнете, знаете

image6.png

също има точно (не приблизително) нормално разпределение. Преобразувайки в z, вие получавате:

image7.png

Значи искате P (Z <–2.36).

image8.jpg

Използвайки горната Z-таблица, откривате, че P (Z <–2.36) = 0.0091. Така че вероятността една случайна извадка от 50 служители на чиновничеството средно да измине по-малко от 9,5 минути за изпълнение на тази задача е 0,91% (много малка).

Как откривате вероятности за

image10.png

ако X не е нормален или неизвестен? В резултат на теоремата за централния предел (CLT) разпределението на X може да бъде ненормално или дори неизвестно и докато n е достатъчно голямо, все още можете да намерите приблизителни вероятности за

image11.png

използвайки стандартното нормално (Z-) разпределение и описания по-горе процес. Тоест, преобразувайте в z-стойност и намерете приблизителни вероятности, използвайки Z-таблицата.

Когато използвате CLT, за да намерите вероятност за

image12.png

(тоест, когато разпределението на X не е нормално или е неизвестно), не забравяйте да кажете, че отговорът ви е приблизително. Също така искате да кажете, че приблизителният отговор трябва да е близо, защото имате достатъчно голям n, за да използвате CLT. (Ако n не е достатъчно голям за CLT, можете да използвате t-разпределението в много случаи.)